Question

1．若函数f（x）同时满足：
①对于定义域上的任意x，恒有f（x）+f（-x）=0
②对于定义域上的任意x₁，x₂，当x₁≠x₂时，恒有$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}＜0$，则称函数f（x）为“理想函数”．
给出下列四个函数中：
①$f（x）=\frac{1}{x}$；
②f（x）=x²； 
③f（x）=-x；
④$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{-{x^2}}&{x≥0}\\{{x^2}}&{x＜0}\end{array}}\right.$
能被称为“理想函数”的有（　　）个．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 判断出基本初等函数的奇偶性和单调性说明①②不是“理想函数”，③是“理想函数”；作出④的图象，由图象可得奇偶性与单调性说明④是“理想函数”．

解答 解：由①知，函数为奇函数；由②知，函数为单调函数．
则即是奇函数又是单调函数的函数为“理想函数”．
对于①，f（x）=$\frac{1}{x}$是奇函数，但不是单调函数，故①不是“理想函数”；
对于②，f（x）=x²，是偶函数，故②不是“理想函数”；
对于③，f（x）=-x，是奇函数，又是定义域内的减函数，故③是“理想函数”；
对于④，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}，x≥0}\\{{x}^{2}，x＜0}\end{array}\right.$，作函数的图象如图：
由图可知，函数是“理想函数”．
∴能被称为“理想函数”的有2个，
故选：B．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查了函数奇偶性和单调性的判定，是基础题．