Question

11．已知实数x，y满足不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x+y-2≥0}\\{x-4y+8≥0}\\{3x-2y-6≤0}\end{array}\right.$，则z=|x+5y-6|的最大值为13．

Answer 1

分析 先画出满足条件的平面区域，求出A，C的坐标，令a=x+5y-6得：y=-$\frac{1}{5}$x+$\frac{6}{5}$+$\frac{1}{5}a$，通过图象求出|a|的最大值即z的最大值即可．

解答 解：实数x，y满足不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x+y-2≥0}\\{x-4y+8≥0}\\{3x-2y-6≤0}\end{array}\right.$对应的平面区域如图：
三角形ABC的三边及其内部部分：

联立$\left\{\begin{array}{l}{x-4y+8=0}\\{3x-2y-6=0}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=3}\end{array}\right.$得：A（4，3）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{x+y-2=0}\\{x-4y+8=0}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=2}\end{array}\right.$得：B（2，0）．
令a=x+5y-6得：y=-$\frac{1}{5}$x+$\frac{6}{5}$+$\frac{1}{5}a$，
显然直线过A（4，3）时，a最大，此时a=13，
直线过B（2，0）时，a最小，此时a=-4，
故z=|a|，故z的最大值是13，
故答案为：13．

点评 本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道中档题．也可以转化为点到直线的距离公式求解．