Question

18．设函数y=f（x）的定义域为R，并且满足f（x-y）=f（x）-f（y），且f（2）=1，当x＞0时，f（x）＞0．
（1）求f（0）的值；
（2）判断函数f（x）的单调性，并给出证明；
（3）如果f（x）+f（x+2）＜2，求x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）令x=y=0，可得f（0-0）=f（0）-f（0），即可得出f（0）．
（2）任取x₁，x₂∈R，不妨设x₁＞x₂，则x₁-x₂＞0．根据当x＞0时，f（x）＞0．可得f（x₁-x₂）=f（x₁）-f（x₂）＞0，∴即可得出单调性．
（3）由f（x-y）=f（x）-f（y），可得f（x）=f（x-y）+f（y），可得2=f（2）+f（2）=f（4），于是f（x）+f（x+2）＜2，转化为：f（x）+f（x+2）＜f（4）．即f（x+2）＜f（4-x）．再利用函数y=f（x）在定义域R上单调递增，即可得出．

解答 解：（1）令x=y=0，则f（0-0）=f（0）-f（0），∴f（0）=0．
（2）函数y=f（x）在定义域R上单调递增，理由如下：
任取x₁，x₂∈R，不妨设x₁＞x₂，则x₁-x₂＞0．
∵当x＞0时，f（x）＞0．
∴f（x₁-x₂）=f（x₁）-f（x₂）＞0，∴f（x₁）＞f（x₂），
∴函数y=f（x）在定义域R上单调递增．
（3）∵f（x-y）=f（x）-f（y）．
∴f（x）=f（x-y）+f（y），
∴2=1+1=f（2）+f（2）=f（2）+f（4-2）=f（4），
∵f（x）+f（x+2）＜2，
∴f（x）+f（x+2）＜f（4）．
∴f（x+2）＜f（4）-f（x）=f（4-x）．
∵函数y=f（x）在定义域R上单调递增，∴x+2＜4-x，
从而x＜1．
∴x的取值范围为{x|x＜1}．

点评 本题考查了抽象函数的单调性与求值、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．