题目内容

有一块直角边为
3
2
2
m的等腰直角三角形木板，现要锯出一个矩形做办公桌面，设矩形的一边长为xm，如图所示：
（1）求矩形面积y与x之间的函数关系式；
（2）当x为多少时，矩形面积取得最大值？矩形的最大面积为多少？
考点：函数的最值及其几何意义,函数解析式的求解及常用方法
专题：综合题,函数的性质及应用
分析：（1）求出斜边为3m，矩形的另一边长为
3-x
2
m，可得矩形面积y与x之间的函数关系式；
（2）利用基本不等式，即可求出矩形的最大面积．
解答： 解：（1）由题意，直角边为
3
2
2
m的等腰直角三角形木板，斜边为3m，
∵矩形的一边长为xm，
∴矩形的另一边长为
3-x
2
m，
∴矩形面积y=x•
3-x
2
=
x(3-x)
2
（0＜x＜3）；
（2）y=
x(3-x)
2
≤
(
x+3-x
2
)2
2
=
9
8
，当且仅当x=3-x，即x=1.5m时，矩形面积取得最大值
9
8
m2．
点评：本题考查矩形的最大面积，考查利用数学知识解决实际问题，确定函数的解析式是关键．
练习册系列答案
相关题目
求方程[x3]+[x2]+[x]={x}-1的解．
在极坐标系中，点P（2，
π
3
）到极轴的距离为
 
．
已知命题p：方程x2-2x+m=0有两个不相等的实数根；命题q：函数y=（m+2）x-1是R上的单调增函数．若“p或q”是真命题，“p且q”是假命题，求实数m的取值范围．
已知点A在直线x+2y-1=0上，点B在直线x+2y+3=0上，线段AB的中点为P（x0，y0），且满足y0＞x0+2，则
y0
x0
的取值范围为（　　）
A、（-
1
2
，-
1
5
）
B、（-∞，-
1
5
]
C、（-
1
2
，-
1
5
]
D、（-
1
2
，0）
已知函数f（x）=sin（2x+φ），其中φ∈（0，2π），若f（x）≤|f（
π
6
）|对x∈R恒成立，且f（
π
2
）＜f（π），则f（x）的单调递增区间是（　　）
A、[kπ+
π
6
，kπ+
2π
3
]（k∈Z）
B、[kπ-
π
3
，kπ+
π
6
]（k∈Z）
C、[kπ，kπ+
π
2
]（k∈Z）
D、[kπ-
π
2
，kπ]（k∈Z）
由-1，0，1，2，3这五个数中选三个不同的数组成二次函数y=ax2+bx+c的系数．
（1）开口向上的抛物线有几条？
（2）开口向下的抛物线有几条？
（3）开口向上且不过原点的抛物线有多少条？
（4）与x轴的正、负半轴各有一个交点的抛物线有多少条？
设函数f（x）=a+
(-x2-4x)
和g（x）=
4x
3
+1，已知当x∈[-4，0]时，恒有f（x）≤g（x），求实数a的取值范围．
已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，w＞0，|φ|＜π）在一个周期内的图象如下图所示．
（1）求函数的解析式；
（2）求函数的单调递增区间；
（3）设0＜x＜π，且方程f（x）=m有两个不同的实数根，求实数m的取值范围．

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