Question

19．在锐角△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c=2，$\sqrt{3}a=2csinA$
（1）求角C
（2）若△ABC的面积等于$\sqrt{3}$，求a，b； 
（3）求△ABC的面积最大值．

Answer 1

分析 （1）由已知及正弦定理可得$\sqrt{3}sinA=2sinCsinA$，结合sinA≠0，可得sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，由于△ABC为锐角三角形，可求C=$\frac{π}{3}$．
（2）由余弦定理及已知条件，得a²+b²-ab=4，又$\frac{1}{2}$absinC=$\sqrt{3}$，得ab=4．联立即可解得a，b的值．
（3）由①可得：4+ab≥2ab，即ab≤4（当且仅当a=b=2时等号成立），利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）∵$\sqrt{3}a=2csinA$，
∴$\sqrt{3}sinA=2sinCsinA$，…2分
∵A∈（0，π），
∴sinA≠0，
∴sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵△ABC为锐角三角形，
∴C=$\frac{π}{3}$．…（6分）
（2）∵C=$\frac{π}{3}$，c=2，由余弦定理及已知条件，得a²+b²-ab=4，①…（7分）
又因为△ABC的面积等于$\sqrt{3}$，
所以$\frac{1}{2}$absinC=$\sqrt{3}$，得ab=4．②…（8分）
联立①②，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=2}\end{array}\right.$，…（11分）
（3）由①可得：4+ab≥2ab，即ab≤4（当且仅当a=b=2时等号成立），
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC≤$\frac{1}{2}×4×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，即当a=b=2时，△ABC的面积的最大值等于$\sqrt{3}$，…（12分）

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．