Question

9．如图，E是直角梯形ABCD底边AB的中点，AB=2DC=2BC，将△ADE沿DE折起形成四棱锥A-BCDE．
（1）求证：DE⊥平面ABE；
（2）若二面角A-DE-B为60°，求二面角A-DC-B的正切值．

Answer 1

分析 （1）由E是直角梯形ABCD底边AB的中点，且AB=2DC，可得四边形BCDE为平行四边形，进一步得到DE⊥EB，DE⊥EA，再由线面垂直的判定得答案；
（2）由（1）知，∠AEB即二面角A-DE-B的平面角，可得∠AEB=60°，又AE=EB，可得△AEB为等边三角形．取BE的中点为F，CD的中点为G，连接AF、FG、AG，可得CD⊥AG．从而∠FGA即所求二面角A-DC-B的平面角．然后求解直角三角形得二面角A-DC-B的正切值．

解答 （1）证明：在直角梯形ABCD中，∵DC∥BE，且DC=BE，∴四边形BCDE为平行四边形，
又∠B=90°，从而DE⊥EB，DE⊥EA．
因此，在四棱锥A-BCDE中，有DE⊥面ABE；
（2）解：由（1）知，∠AEB即二面角A-DE-B的平面角，故∠AEB=60°，
又∵AE=EB，∴△AEB为等边三角形．
设BE的中点为F，CD的中点为G，连接AF、FG、AG，
从而AF⊥BE，FG∥DE，
于是AF⊥CD，FG⊥CD，
从而CD⊥面AFG，因此CD⊥AG．
∴∠FGA即所求二面角A-DC-B的平面角．
∵DE⊥面ABE，从而FG⊥面ABE，
∴FG⊥AF．
设原直角梯形中，AB=2DC=2BC=2a，则折叠后四棱锥中AF=$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，FG=a，
于是在Rt△AFG中，$tan∠FGA=\frac{AF}{FG}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
即二面角A-DC-B的正切值为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．

点评 本题考查直线与平面垂直的判定，考查了二面角的平面角的求法，关键是明确折叠问题折叠前后的变量与不变量，是中档题．