Question

15．如图，抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B，设C（$\frac{7}{2}$p，0），AF与BC相交于点E．若|CF|=3|AF|，且△ACE的面积为3，则p的值为2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 如图所示，F（$\frac{p}{2}$，0），|由于AB∥x轴，|CF|=3|AF|，|AB|=|AF|，可得|CF|=3|AB|=3p，|CE|=3|BE|．利用抛物线的定义可得x_A，代入可取y_A，再利用S_△ACE=3，即可得出．

解答 解：如图所示，F（$\frac{p}{2}$，0），|CF|=3p．
∵AB∥x轴，|CF|=3|AF|，|AB|=|AF|，
∴|CF|=3|AB|=3p，|CE|=3|BE|．
∴x_A+$\frac{p}{2}$=p，解得x_A=$\frac{p}{2}$，
代入可取y_A=p，
∴S_△ACE=$\frac{3}{4}$S_△ABC=$\frac{3}{4}×\frac{1}{2}×p×p$=3
解得p=2$\sqrt{2}$．
故答案为2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了抛物线的定义及其性质、平行线的性质、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．