Question

14．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且$acosC+\sqrt{3}asinC=b+c$．
（1）求A；
（2）若$a=\sqrt{7}$，△ABC的面积为$\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$，求b与c的值．

Answer 1

分析 （1）$acosC+\sqrt{3}asinC=b+c$，由正弦定理得：$sinAcosC+\sqrt{3}sinAsinC=sinB+sinC$，即可求A；
（2）由已知得$\frac{1}{2}bcsin\frac{π}{3}=\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$，可得bc=6，由已知及余弦定理得b²+c²-2bccosA=7，（b+c）²=25，b+c=5，联立，即可求b与c的值．

解答 解：（1）∵$acosC+\sqrt{3}asinC=b+c$，
由正弦定理得：$sinAcosC+\sqrt{3}sinAsinC=sinB+sinC$，
即$sinAcosC+\sqrt{3}sinAsinC=sin（{A+C}）+{sinC}$，
化简得：$\sqrt{3}sinA-cosA=1$，∴$sin（{A-\frac{π}{6}}）=\frac{1}{2}$
在△ABC中，0＜A＜π，∴$A-\frac{π}{6}=\frac{π}{6}$，得$A=\frac{π}{3}$，
（2）由已知得$\frac{1}{2}bcsin\frac{π}{3}=\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$，可得bc=6，
由已知及余弦定理得b²+c²-2bccosA=7，（b+c）²=25，b+c=5，
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}bc=6\\ b+c=5\end{array}\right.$，可得$\left\{\begin{array}{l}b=2\\ c=3\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}b=3\\ c=2\end{array}\right.$．

点评 本题考查正弦、余弦定理的运用，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．