Question

椭圆的内接等腰△ABC的顶点A的坐标为（0，b），其底边BC上的高在y轴上，若△ABC的面积不超过，则椭圆离心率的取值范围为

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

A
分析：首先设点B（acosx，bsintx） C（-acosx，bsinx），进而求得底边、高、面积得出恒有（1-sinx）cosx≤，再根据c²=a²-b²，就能得到答案．
解答：∵△ABC为等腰三角形．
∴可设点B（acosx，bsintx） C（-acosx，bsinx）．其中-＜x＜．
此时易知，该三角形底边BC=2acosx，高=b（1-sinx）
∴S=ab（1-sinx）cosx
由题设可得ab（1-sinx）cosx≤
∴恒有（1-sinx）cosx≤
∴≤
整理可得，a≤2b
两边平方，3a²≤4b²=4（a²-c²）
∴4c²≤a²
∴≤．
故选A．
点评：本题考查了椭圆的简单性质，本题采用参数方法使问题变得简单化，属于中档题．