题目内容
已知双曲线
(a＞0,b＞0)的离心率e＞
+1,左、右焦点分别是F1、F2,左准线为l,在双曲线的左半支上是否能找到一点P,使得|PF1|是P到l的距离d与|PF2|的比例中项?若存在,求出点P坐标;若不存在,请说明理由.
解:由双曲线的第二定义得|PF1|=de,?
而由|PF2|-|PF1|=
于是有d2e2=d(.①?
则P点是否存在,决定于等式①在e＞+1的情况下是否成立.?
从双曲线的图形不难看出,d不小于双曲线左顶点到l的距离a-
.?
假设P点存在,则有
≥a-
,即?
≥1-
,亦即(e-1)2≤2,?
由此得e≤1+
.?
此与已知e＞1+
矛盾,故假设不成立,即符合题设的点P不存在.
练习册系列答案
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(a＞0,b＞0),F1、F2为双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，求|PF1|·|PF2|的最小值.
(a＞0,b＞0)的右焦点为F,右准线与一条渐近线交于点A,△OAF的面积为
(O为原点),则两条渐近线的夹角为( )
(a>0,b<0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是
(a>0,b<0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是
(a＞0，b＞0) 的焦点到渐近线的距离是a，则双曲线的离心率的值是 ．