Question

曲线C是点M到定点F（2，0）的距离与到直线x=3距离之比为

6

3

的轨迹．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）设F，F'为曲线C的两个焦点，直线l过点F且与曲线C交于A，B两点，求|F'A|•|F'B|的最大值．

Answer 1

（1）设曲线上任一点M（x，y），则由题意得：

(x-2)2+y2

|x-3|

=

6

3

化简得：曲线方程为

x2

6

+

y2

2

=1…（6分）
（2）当直线l与x轴垂直时，此时A(2，

6

3

)，B(2，-

6

3

)，|F′A|•|F′B|=

42+( 6 3 )2

•

42+(- 6 3 )2

=

50

3

…．（10分）
当直线l的斜率存在时，设l的方程为y=k（x-2）
点A，B的坐标是方程组

x2 6 + y2 2 =1 y=k(x-2)

的解，从而有：（3k²+1）x²-12k²x+12k²-6=0
由韦达定理：x1+x2=

12k2

3k2+1

，x1x2=

12k2-6

3k2+1

，
又椭圆的离心率e=

6

3

，由椭圆的左焦半径公式得|F′A|•|F′B|=(

6

+

6

3

x1)(

6

+

6

3

x2)=

2

3

x1x2+2(x1+x2)+6=

2

3

×

12k2-6

3k2+1

+2×

12k2

3k2+1

+6=

50

3

-

44

3(3k2+1)

＜

50

3

，综上，|F'A|•|F'B|的最大值是

50

3

．…（16分）