Question

已知α为锐角，且，函数，数列{a_n}的首项a₁=1，a_n+1=f（a_n）．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）在△ABC中，若∠A=2α，，BC=2，求△ABC的面积
（3）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用三角函数公式二倍角公式，两角和正弦公式分别求出tan2α，sin（2α+）的值，代入解析式即可求得函数f（x）的表达式．
（2）利用正弦定理求得AB，再用S△ABC=×AB×BC×sinB计算可得面积大小．
（3）由a_n+1=2a_n+1，先转化构造出数列{a_n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列．求出数列{a_n}的通项，再去求和．
解答：解：（1）
∴=
=（分子分母同除以cos²α）
==1
∴f（x）=2x+1
（2）由（1）得∠A=2α=，而，
根据正弦定理易AB===，

S△ABC=×AB×BC×sinB==
（3）∵a_n+1=2a_n+1，
∴a_n+1+1=2（a_n+1）
∵a₁=1∴数列{a_n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列．
可得a_n+1=2ⁿ，∴a_n=2ⁿ-1，
∴
点评：本题考查函数与三角、数列的综合．注意考查了三角函数公式、正弦定理、数列求和．须具有较强的分析解决问题，计算，转化的思想与能力．是难题．