Question

19．已知函数f（x）=$\frac{{e}^{x}-a}{x}$-alnx（a∈R），其中e=2.71828…是自然对数的底数．
（1）若f（x）=0的两个根分别为x₁，x₂，且满足x₁x₂=2，求a的值；
（2）当a＞0，讨论f（x）的单调性．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，令导函数等于0，求出方程的根即可；
（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可．

解答 解：（1）f（x）的定义域是{x|x＞0}，
f′（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$[（x-1）（e^x-a）]，
由已知方程f′（x）=0有2个根，解得：x₁=1，x₂=lna，
于是x₁x₂=lna=2，解得：a=e²；
（2）由（1）得f′（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$[（x-1）（e^x-a）]，（x＞0），
①0＜a≤1时，e^x＞a，当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，
故f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增；
②1＜a＜e时，令e^x=a，得x=lna∈（0，1），
由f′（x）＜0，解得：lna＜x＜1，由f′（x）＞0，解得：0＜x＜lna或x＞lna，
故f（x）在（0，lna），（1，+∞）递增，在（lna，1）递减；
③当a=e时，令e^x=a，f′（x）≥0，故f（x）在（0，+∞）递增；
④a＞e时，令e^x=a，得x=lna∈（1，+∞），由f′（x）＜0，解得：1＜x＜lna，
由f′（x）＞0，解得：0＜x＜1或x＞lna，
故f（x）在（0，1），（lna，+∞）递增，在（1，lna）递减；
综上，0＜a≤1时，f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增；
1＜a＜e时，f（x）在（0，lna），（1，+∞）递增，在（lna，1）递减；
a=e时，f（x）在（0，+∞）递增；
a＞e时，f（x）在（0，1），（lna，+∞）递增，在（1，lna）递减．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．