Question

已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=a^x-1．其中a＞0且a≠1．
（1）求f（2）+f（-2）的值；
（2）求f（x）的解析式；
（3）解关于x的不等式f（x）＞0．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数解析式的求解及常用方法

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）由f（x）是定义在R上的奇函数可得f（2）+f（-2）=0；
（2）设x＜0，则-x＞0；从而由f（x）=-f（-x）求解析式；
（3）分a＞1与0＜a＜1讨论函数的单调性，从而解不等式．

解答： 解：（1）∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（2）+f（-2）=0；
（2）设x＜0，则-x＞0；
则f（x）=-f（-x）
=-（a^-x-1）
=1-a^-x；
故f（x）=

ax-1，x≥0 1-a-x，x＜0

；
（3）若a＞1，则f（x）在[0，+∞）上是增函数，
又∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（x）是R上的增函数，
∴由f（x）＞0=f（0）解得，
x＞0；
若0＜a＜1，则f（x）在[0，+∞）上是减函数，
又∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（x）是R上的减函数，
∴由f（x）＞0=f（0）解得，
x＜0．

点评：本题考查了函数的奇偶性的应用，同时考查了分段函数的单调性及应用，属于中档题．