Question

16．已知二次函数y=ax²+1的图象为抛物线C，过顶点A（0，1）的直线l与抛物线C相交于另外一点P，点Q为抛物线C上另外一点，且点M（0，m）到直线l的距离为1．
（Ⅰ）若直线l的斜率为k，且|k|∈[$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，$\sqrt{3}}$]，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）当m=$\sqrt{2}$+1时，△APQ的内心恰好是点M，求此二次函数的解析式．

Answer 1

分析 （I）直线l的方程为：y=kx+1．由点M（0，m）到直线l的距离为1，可得$\frac{|-m+1|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，根据|k|∈[$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，$\sqrt{3}}$]，可得$\sqrt{1+{k}^{2}}$∈$[\frac{2\sqrt{3}}{3}，2]$．即可得出．
（II）m=$\sqrt{2}$+1时，k=±1．由对称性不妨取k=1时，y=x+1，与抛物线方程联立化为：ax²=x，x≠0，解得x，P$（\frac{1}{a}，\frac{1}{a}+1）$．由于△APQ的内心恰好是点M，利用抛物线的对称性可得Q$（-\frac{1}{a}，\frac{1}{a}+1）$．由三角形内心的性质及其已知可得：$\frac{1}{a}$+1-（$\sqrt{2}$+1）=1，解得a．

解答 解：（I）直线l的方程为：y=kx+1．∵点M（0，m）到直线l的距离为1，∴$\frac{|-m+1|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，
∴|m-1|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$，
∵|k|∈[$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，$\sqrt{3}}$]，∴$\sqrt{1+{k}^{2}}$∈$[\frac{2\sqrt{3}}{3}，2]$．
∴|m-1|∈$[\frac{2\sqrt{3}}{3}，2]$．
∴m∈$[\frac{3+2\sqrt{3}}{3}，3]$∪$[-1，\frac{3-2\sqrt{3}}{3}]$．
（II）m=$\sqrt{2}$+1时，k=±1．
由对称性不妨取k=1时，y=x+1，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{y=a{x}^{2}+1}\end{array}\right.$，化为：ax²=x，x≠0，解得x=$\frac{1}{a}$．∴y_P=$\frac{1}{a}$+1，P$（\frac{1}{a}，\frac{1}{a}+1）$．
∵△APQ的内心恰好是点M，利用抛物线的对称性可得Q$（-\frac{1}{a}，\frac{1}{a}+1）$．
由三角形内心的性质及其已知可得：$\frac{1}{a}$+1-（$\sqrt{2}$+1）=1，解得a=$\sqrt{2}$-1．
∴此二次函数的解析式为y=（$\sqrt{2}$-1）x²+1．

点评 本题考查了二次函数的图象与性质、点到直线的距离公式、三角形内心的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．