Question

如图，棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC＝60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD，∠A1AC＝60°．

(1)证明：BD⊥AA1；

(2)求锐二面角D－A1A－C的平面角的余弦值；

(3)在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1？若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由．

 

Answer 1

(1)证明见解析；(2) 二面角D－A1A－C的平面角的余弦值是．(3)存在，点P在C1C的延长线上且使C1C＝CP．

【解析】

试题分析：(1)连接BD交AC于O，则BD⊥AC，连接A1O,可证A1O⊥底面ABCD，则可建立如图所示的空间直角坐标系，分别写出的坐标，进而得，坐标，由坐标运算可得，即两向量垂直，得两线垂直；(2)分别求出两平面的一个法向量，，利用，可得二面角的平面角的余弦值；(3)令存在，在直线CC1 上设，P(x，y，z)，得＝(，1＋λ，λ)，取平面DA1C一法向量，知·＝0，得的值，P点可求．

【解析】
连接BD交AC于O，则BD⊥AC，连接A1O．

在△AA1O中，AA1＝2，AO＝1，∠A1AO＝60°，

∴A1O2＝＋AO2－2AA1·AOcos 60°＝3，

∴AO2＋A1O2＝A1A2，∴A1O⊥AO，

由于平面AA1C1C⊥平面ABCD，∴A1O⊥底面ABCD， 2分

∴以OB、OC、OA1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，则A(0，－1,0)，B(，0,0)，C(0,1,0)，D(，0,0)，A1(0,0，)．

(1)由于＝(，0,0)，＝(0,1，)，则·＝0×()＋1×0＋×0＝0，

所以:BD⊥AA1． 4分

(2)由于OB⊥平面AA1C1C，

∴平面AA1C1C的法向量＝(1,0,0)，设⊥平面AA1D，则

设＝(x，y，z)，

得到取， 6分

∴，

∴二面角D－A1A－C的平面角的余弦值是． 8分

(3)假设在直线CC1上存在点P，使BP∥平面DA1C1，

设，P(x，y，z)，则(x，y－1，z)＝λ(0,1，)， 9分

得P(0,1＋λ，λ)，＝(，1＋λ，λ)．

设⊥平面DA1C1，则．

设＝(x3，y3，z3)，得到．

不妨取＝(1,0，－1)． 10分

又∵∥平面DA1C1，则·＝0，即－λ＝0，得λ＝－1，

即点P在C1C的延长线上且使C1C＝CP 12分

考点：空间向量在立体几何证明计算中的应用,空间想象能力．