Question

若对于任意x∈R，都有（m-2）x²-2 （m-2）x-4＜0恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：对二次项系数m-2分类讨论，当m-2=0时，恒成立，当m-2≠0时，转化为二次函数恒成立问题，利用二次函数的性质，列出不等关系，求解即可得到m的取值范围．

解答：解：∵对于任意x∈R，都有（m-2）x²-2 （m-2）x-4＜0恒成立，
①当m-2=0，即m=2时，不等式为-4＜0对任意x∈R恒成立，
∴m=2符合题意；
②当m-2≠0，即m≠2时，（m-2）x²-2 （m-2）x-4＜0对于任意x∈R恒成立，
∴

m-2＜0 [-2(m-2)]2-4(m-2)×(-4)＜0

，即

m＜2 -2＜m＜2

，
∴-2＜m＜2；
综合①②，可得实数m的取值范围是-2＜m≤2．

点评：本题考查了不等式恒成立问题，对于不等式恒成立问题一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法求解．本题解题过程中运用了二次函数的性质和分类讨论的数学思想方法．对于二次函数问题特别要注意对开口方向和对称轴以及判别式的研究．属于中档题．