Question

3．已知A，B，C，D为圆O上的四点，过A作圆O的切线交BD的延长线于点P，且PA=PE，∠ABC=45°，PD=1，BD=8．
（I）求弦AB的长；
（II）求圆O的半径R的值．

Answer 1

分析 （I）证明∠APE=90°，由切割线定理得PA，利用勾股定理求弦AB的长；
（II）由相交弦定理得AC，由正弦定理求圆O的半径R的值．

解答 解：（I）∵∠ABC=45°，AP是圆O的切线，
∴∠PAE=∠ABC=45°，
又PA=PE，∴∠APE=90°，
∵PD=1，BD=8，
∴由切割线定理得PA²=PD•PB=9⇒PA=3，
∴$AB=\sqrt{P{A^2}+P{B^2}}=3\sqrt{10}$；
（II）在RT△APE中，PA=PE=3，∴$AE=3\sqrt{2}$，ED=EP-PD=2，EB=BD-ED=8-2=6
由相交弦定理得$EC×EA=EB×ED=2×6=12⇒EC=\frac{12}{{3\sqrt{2}}}=2\sqrt{2}$，$AC=AE+EC=5\sqrt{2}$，
由正弦定理$\frac{AC}{sin∠ABC}=2R⇒R=\frac{{5\sqrt{2}}}{{2×\frac{{\sqrt{2}}}{2}}}=5$．

点评 本题考查圆的切线的性质，考查切割线定理、相交弦定理、正弦定理，属于中档题．