Question

10．在平面直角坐标系xoy中，直线l：y=2x-4，圆C的半径为1，圆心在直线l上，若圆C上存在点M，且M在圆D：x²+（y+1）²=4上，则圆心C的横坐标a的取值范围是（　　）

• A． $[{\frac{3}{5}，2}]$
• B． $[{0，\frac{12}{5}}]$
• C． $[{2-\frac{2}{5}\sqrt{5}，2+\frac{2}{5}\sqrt{5}}]$
• D． $[{0，2-\frac{2}{5}\sqrt{5}}]∪[{2+\frac{2}{5}\sqrt{5}，4}]$

Answer 1

分析 设出圆心C的坐标，表示出圆的方程，进而判断出点M应该既在圆C上又在圆D上，且圆C和圆D有交点．进而确定不等式关系求得a的范围．

解答 解：因为圆C的圆心在直线y=2x-4上，所以设圆心C为（a，2a-4），
则圆C的方程为：（x-a）²+[y-（2a-4）]²=1．
又M在圆D：x²+（y+1）²=4上，所以点M应该既在圆C上又在圆D上，且圆C和圆D有交点．
则|2-1|≤$\sqrt{{a}^{2}+[（2a-4）-（-1）]^{2}}$≤|2+1|．
由5a²-12a+8≥0，得a∈R．
由5a²-12a≤0得0≤a≤$\frac{12}{5}$．
所以圆心C的横坐标的取值范围为[0，$\frac{12}{5}$]．
故选：B

点评 本题主要考查了直线与圆的方程的应用．考查了学生的分析推理和基本的运算能力．