Question

12．已知函数f（x）=sinx+$\frac{2}{sinx}$，试判断f（x）在（0，π）内的增减性，且证明你的结论．

Answer 1

分析 求出函数的导数，根据三角函数的性质解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可，根据函数单调性的定义证明即可．

解答 解：∵f（x）=sinx+$\frac{2}{sinx}$，x∈（0，π），
∴f′（x）=cosx-$\frac{2cosx}{{sin}^{2}x}$=$\frac{-cosx（1{+cos}^{2}x）}{{sin}^{2}x}$，
令f′（x）＞0，即cosx＜0，解得：$\frac{π}{2}$＜x＜π，
令f′（x）＜0，即cosx＞0，解得：0＜x＜$\frac{π}{2}$，
∴f（x）在（0，$\frac{π}{2}$）递减，在（$\frac{π}{2}$，π）递增，
证明如下：
令0＜x₁＜x₂＜π，
∴f（x₁）-f（x₂）
=sinx₁-sinx₂+2（$\frac{1}{si{nx}_{1}}$-$\frac{1}{si{nx}_{2}}$）
=$\frac{（si{nx}_{1}-si{nx}_{2}）（si{nx}_{1}si{nx}_{2}-2）}{si{nx}_{1}si{nx}_{2}}$，
∵0＜x₁＜x₂＜π，∴0＜sinx₁sinx₂＜1，sinx₁sinx₂-2＜0，
当0＜x₁＜x₂＜$\frac{π}{2}$时，sinx₁＜sinx₂，
则f（x₁）-f（x₂）＞0，f（x）递增，
当$\frac{π}{2}$＜x₁＜x₂＜π时，sinx₁＞sinx₂，
则f（x₁）-f（x₂）＜0，f（x）递减，
故f（x）在（0，$\frac{π}{2}$）递减，在（$\frac{π}{2}$，π）递增．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及三角函数的性质，是一道中档题．