Question

6．已知点P在圆C：x²+y²-8x-6y+21=0上运动，O是坐标原点，求线段OP的中点M的轨迹．

Answer 1

分析 化圆的方程为标准式，设出中点坐标，圆上的点P的坐标（x₁，y₁），由中点坐标公式把P的坐标用M的坐标表示，代入圆的方程得答案．

解答 解：由x²+y²-8x-6y+21=0，得（x-4）²+（y-3）²=4，设线段OP中点M的坐标（x，y），P（x₁，y₁），
由中点坐标公式得：x=$\frac{{x}_{1}}{2}$，y=$\frac{{y}_{1}}{2}$，
则x₁=2x，y₁=2y，
代入圆（x-4）²+（y-3）²=4，
得（2x-4）²+（2y-3）²=4，
即（x-2）²+（y-$\frac{3}{2}$）²=1．
∴线段OP中点M的坐标（x，y）应满足的关系式为（x-2）²+（y-$\frac{3}{2}$）²=1．
线段OP的中点M的轨迹：（x-2）²+（y-$\frac{3}{2}$）²=1．

点评 本题考查了轨迹方程的求法，训练了代入法求曲线的轨迹方程，是中档题．