Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（{a＞b＞0}）的离心率e=

2

2

，且由椭圆上顶点、右焦点及坐标原点构成的三角形面积为2．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知P（0，2），过点Q（-1，-2）作直线l交椭圆C于A、B两点（异于P），直线PA、PB的斜率分别为k₁、k₂．试问k₁+k₂ 是否为定值？若是，请求出此定值，若不是，请说明理由．

Answer 1

考点：圆锥曲线的实际背景及作用,直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）留言椭圆的离心率，a、b、c的关系，以及三角形的面积，解方程组即可求椭圆C的方程；
（Ⅱ）利用直线斜率存在与不存在两种情况，通过直线方程与椭圆的方程，求出A、B坐标，求出直线PA、PB的斜率分别为k₁、k₂．k₁+k₂ 为定值．

解答：解：（Ⅰ）由题意得

a2=b2+c2 c a = 2 2 1 2 bc=2

，解得a²=8，b²=4，
所以椭圆C的方程为

x2

8

+

y2

4

=1．…5分
（Ⅱ）k₁+k₂ 为定值4，证明如下：…6分
（ⅰ）当直线l斜率不存在时，l方程为x=-1，
由方程组

x=-1 x2 8 + y2 4 =1

易得A(-1，

14

2

)，B(-1，-

14

2

)，
于是k₁=

2- 14 2

0-(-1)

=

4- 14

2

，k₂=

2-(- 14 2 )

0-(-1)

=

4+ 14

2

，
所以k₁+k₂=4为定值．…8分
（ⅱ）当直线l斜率存在时，设l方程为y-（-2）=k[x-（-1）]，即y=kx+k-2，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由方程组

x=-1 x2 8 + y2 4 =1

，消去y，得（1+2k²）x²+4k（k-2）x+2k²-8k=0，
由韦达定理得

x1+x2= -4k(k-2) 1+2k2 x1x2= 2k2-8k 1+2k2

（*）  …10分
∴k₁+k₂=

y1-2

x1

+

y2-2

x2

=

(y1-2)x2+(y2-2)x1

x1x2

=

(kx1+k-4)x2+(kx2+k-4)x1

x1x2

=

2kx1x2+(k-4)(x1+x2)

x1x2

=2k+（k-4）•

x1+x2

x1x2

，
将（*）式代入上式得k₁+k₂=4为定值．…13分．

点评：本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系，直线的斜率的应用，考查转化思想以及计算能力．