Question

6．已知θ∈（0，$\frac{π}{2}$），则sinθ+$\sqrt{3}$cosθ的取值范围为（1，2]．

Answer 1

分析 利用和差公式可得：sinθ+$\sqrt{3}$cosθ=2$sin（θ+\frac{π}{3}）$，由θ∈（0，$\frac{π}{2}$），则$θ+\frac{π}{3}$∈$（\frac{π}{3}，\frac{5π}{6}）$，可得$sin（θ+\frac{π}{3}）$∈$（\frac{1}{2}，1]$．即可得出．

解答 解：sinθ+$\sqrt{3}$cosθ=2$（\frac{1}{2}sinθ+\frac{\sqrt{3}}{2}cosθ）$=2$sin（θ+\frac{π}{3}）$
由θ∈（0，$\frac{π}{2}$），则$θ+\frac{π}{3}$∈$（\frac{π}{3}，\frac{5π}{6}）$，$sin（θ+\frac{π}{3}）$∈$（\frac{1}{2}，1]$．
∴sinθ+$\sqrt{3}$cosθ的取值范围为（1，2]．
故答案为：（1，2]．

点评 本题考查了三角函数的单调性及其值域、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．