Question

14．证明：cos$\frac{2π}{7}$+cos$\frac{4π}{7}$+cos$\frac{6π}{7}$=-2sin$\frac{π}{12}$cos$\frac{π}{12}$．

Answer 1

分析 利用二倍角公式、积化和差公式化简等式的左边为-$\frac{1}{2}$，再化简等式的右边为-$\frac{1}{2}$，从而证得等式成立．

解答 证明：∵cos$\frac{2π}{7}$+cos$\frac{4π}{7}$+cos$\frac{6π}{7}$=$\frac{sin\frac{π}{7}•cos\frac{2π}{7}+sin\frac{π}{7}cos\frac{4π}{7}+sin\frac{π}{7}cos\frac{6π}{7}}{sin\frac{π}{7}}$=$\frac{\frac{1}{2}•[（sin\frac{3π}{7}-sin\frac{π}{7}）+（sin\frac{5π}{7}-sin\frac{3π}{7}）+（sin\frac{7π}{7}-sin\frac{5π}{7}）]}{sin\frac{π}{7}}$
=$\frac{\frac{1}{2}•（sinπ-sin\frac{π}{7}）}{sin\frac{π}{7}}$=-$\frac{1}{2}$，
∵-2sin$\frac{π}{12}$cos$\frac{π}{12}$=-sin$\frac{π}{6}$=-$\frac{1}{2}$
∴cos$\frac{2π}{7}$-cos$\frac{3π}{7}$-cos$\frac{π}{7}$=-2sin$\frac{π}{12}$cos$\frac{π}{12}$成立．

点评 本题主要考查二倍角公式、积化和差公式的应用，属于中档题．