Question

4．已知函数f（x）=（x-a）（x-b）²，（b≠0），不等式f（x）≥mxf′（x）对?x∈R恒成立，则2m+a-b=$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 由条件可得，（x-b）{（1-3m）x²+[m（2a+b）-（a+b）]x+ab}≥0恒成立，可得m=$\frac{1}{3}$，故（x-b）[（a+2b）x-3ab]≤0恒成立．再利用二次函数的性质求出a-b=0即可．

解答 解：∵f（x）≥mxf′（x），
∴（x-a）（x-b）² ≥m•x（x-b）[3x-（2a+b）]，
∴（x-b）{（1-3m）x²+[m（2a+b）-（a+b）]x+ab}≥0．
若m≠$\frac{1}{3}$，则左边是一个一次因式，乘以一个恒正（或恒负）的二次三项式，或者是三个一次因式的积，无论哪种
情况，总有一个一次因式的指数是奇次的，这个因式的零点左右的符号不同，因此不可能恒非负，不满足条件．
∴m=$\frac{1}{3}$，
∴（x-b）[（a+2b）x-3ab]≤0恒成立．
若a+2b=0，则有a=-2b，∴a=b=0，（舍）
若a+2b≠0，则 x₁=b，x₂=$\frac{3ab}{a+2b}$，且 b=$\frac{3ab}{a+2b}$．
∵b≠0，则   $\frac{3a}{a+2b}$=1，∴a=b，即a-b=0且b＜0．
综上可得，m=$\frac{1}{3}$，a-b=0，
∴2m+a-b=$\frac{2}{3}$，
故答案为：$\frac{2}{3}$．

点评 本题主要考查函数在某点取得极值的条件，函数的恒成立问题，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．