Question

16．若正实数a，b满足ab=1，则2^-a•4${\;}^{-\frac{b}{2}}$最大值为$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 先根据指数的运算性质得到2^-a•4${\;}^{-\frac{b}{2}}$=（$\frac{1}{2}$）^（a+b），根据基本不等式和指数函数的单调性即可求出．

解答 解：2^-a•4${\;}^{-\frac{b}{2}}$=2^-a•2^-b=2^-（a+b）=（$\frac{1}{2}$）^（a+b），
∵正实数a，b满足ab=1，
∴a+b≥2$\sqrt{ab}$=2，当且仅当a=b=1时取等号，
∵f（x）=$（\frac{1}{2}）^{x}$，
∴f（x）在[2，+∞）为减函数，
∴f（x）_max=f（2）=$\frac{1}{4}$，
故答案为：$\frac{1}{4}$

点评 本题考查了指数的运算性质和基本不等式和函数的单调性，属于基础题．