Question

3．已知定义在R上的连续函数g（x）满足：①当x＞0时，g′（x）＞0恒成立（g′（x）为函数g（x）的导函数）；②对任意的x∈R都有g（x）=g（-x），又函数f（x）满足：对任意的x∈R，都有$f（\sqrt{3}+x）=f（x-\sqrt{3}）$成立．当$x∈[-\sqrt{3}，\sqrt{3}]$时，f（x）=x³-3x．若关于x的不等式g[f（x）]≤g（a²-a+2）对?x∈[-$\sqrt{3}$，$\frac{3}{2}+2\sqrt{3}$]恒成立，则a的取值范围是（　　）

• A． a∈R
• B． 0≤a≤1
• C． $-\frac{1}{2}-\frac{{3\sqrt{3}}}{4}≤a≤-\frac{1}{2}+\frac{{3\sqrt{3}}}{4}$
• D． a≤0或a≥1

Answer 1

分析 由于函数g（x）满足：①当x＞0时，g'（x）＞0恒成立（g′（x）为函数g（x）的导函数）；②对任意x∈R都有g（x）=g（-x），这说明函数g（x）为R上的偶函数且在[0，+∞）上为单调递增函数，且有g|（x|）=g（x），所以g[f（x）]≤g（a²-a+2）?|f（x）|≤|a²-a+2|对x∈[-$\frac{3}{2}$-2$\sqrt{3}$，$\frac{3}{2}$+2$\sqrt{3}$]恒成立，只要使得|f（x）|在定义域内的最大值小于等于|a²-a+2|的最小值，然后解出即可．

解答 解：因为函数g（x）满足：当x＞0时，g′（x）＞0恒成立且对任意x∈R都有g（x）=g（-x），
则函数g（x）为R上的偶函数且在[0，+∞）上为单调递增函数，且有g（|x|）=g（x），
所以g[f（x）]≤g（a²-a+2）在R上恒成立?|f（x）|≤|a²-a+2|对x∈[-$\frac{3}{2}$-2$\sqrt{3}$，$\frac{3}{2}$+2$\sqrt{3}$]恒成立，
只要使得定义域内|f（x）|_max≤|a²-a+2|_min，由于当x∈[-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$]时，f（x）=x³-3x，
求导得：f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），该函数过点（-$\sqrt{3}$，0），（0，0），（$\sqrt{3}$，0），
且函数在x=-1处取得极大值f（-1）=2，在x=1处取得极小值f（1）=-2，
又由于对任意的x∈R都有f（$\sqrt{3}$+x）=-f（x）?f（2$\sqrt{3}$+x）=-f（$\sqrt{3}$+x）=f（x）成立，
则函数f（x）为周期函数且周期为T=2$\sqrt{3}$，
所以函数f（x）在x∈[-$\sqrt{3}$，$\frac{3}{2}+2\sqrt{3}$]的最大值为2，
所以令2≤|a²-a+2|解得：a≥1或a≤0．
故选：D．

点评 此题考查了利用导函数求得函数在定义域上为单调递增函数，还考查了函数的周期的定义，及利用周期可以求得当x∈[-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$]时，f（x）=x³-3x的值域为[-2，2]，还考查了函数恒成立．