Question

15．已知函数f（x）=lnx-ax+a的零点为x₀，曲线f（x）在点（x₀，f（x₀））处的切线为y=g（x）．
（1）证明：f（x）≤g（x）；
（2）若关于x的方程f（x）=a有两个不等实根m，n，p为f（x）较大的零点，证明：|m-n|＜p-$\frac{1}{1-a}$．

Answer 1

分析 （1）求出导数，求得切线的斜率和方程，作差即可得证；
（2）求出零点和范围，再由分析法，结合切线的斜率可得a的范围，进而得到证明．

解答 证明：（1）由题意可得f（x₀）=0，
即有lnx₀=ax₀-a，
f（x）=lnx-ax+a的导数为f′（x）=$\frac{1}{x}$-a，
f（x）在点（x₀，f（x₀））处的切线斜率为$\frac{1}{{x}_{0}}$-a，
切线的方程为y-lnx₀+ax₀-a=（$\frac{1}{{x}_{0}}$-a）（x-x₀），
即为y=g（x）=（$\frac{1}{{x}_{0}}$-a）x+lnx₀+a-1，
由f（x）-g（x）=lnx-ax+a-（$\frac{1}{{x}_{0}}$-a）x-lnx₀-a+1
=lnx-lnx₀+1-$\frac{x}{{x}_{0}}$，
导数为$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{{x}_{0}}$=$\frac{{x}_{0}-x}{x{x}_{0}}$，
当x＞x₀时，导数小于0，函数递减；
当0＜x＜x₀时，导数大于0，函数递增．
即有x=x₀时，取得极大值，也为最大值，且为0，
则f（x）-g（x）≤0，即f（x）≤g（x）；
（2）关于x的方程f（x）=a有两个不等实根m，n，
即有lnm=am，lnn=an，（m＜n），
设y=lnx与y=ax相切的切点为（t，lnt），可得$\frac{1}{t}$=a，lnt=at，
解得a=$\frac{1}{e}$，由题意可得f（x）=0有两个实根，则0＜a＜$\frac{1}{e}$，
此时f（x）=0的较大的根为p（p＞5），且p＞n＞m，
要证|m-n|＜p-$\frac{1}{1-a}$，即证p-（n-m）＞$\frac{1}{1-a}$，
由$\frac{1}{1-a}$∈（1，$\frac{e}{e-1}$），p-（n-m）∈（5，+∞），
即有p-（n-m）＞$\frac{1}{1-a}$，故原不等式成立．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程，考查不等式的证明，注意运用导数，判断单调性，求最值和范围，属于中档题．