Question

12．在△ABC中，若sinA+sinB=sinC（cosA+cosB）．
（1）判断△ABC的形状．
（2）在上述△ABC中，若角C的对边c=1，A=75°，求面积．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理和余弦定理化角为边，整理后可得a²+b²=c²．即△ABC是直角三角形；
（2）由（1）知，△ABC是以C为直角的直角三角形，且c=1，A=75°，可得C=15°，把边AC、BC分别用sin15°和cos15°表示，代入面积公式，再由二倍角正弦得答案．

解答 解：（1）由sinA+sinB=sinC（cosA+cosB），
得a+b=c（$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}+\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$）=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2b}+\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2a}$，
即2a²b+2ab²=ab²+ac²-a³+a²b+bc²-b³，
∴a²b+ab²=ac²-a³+bc²-b³
∴b（a²+b²-c²）+a（a²+b²-c²）=0，
即（a+b）（a²+b²-c²）=0．
∵a+b≠0，
∴a²+b²-c²=0，即a²+b²=c²．
∴△ABC是直角三角形；
（2）由（1）知，△ABC是以C为直角的直角三角形，且c=1，A=75°，
∴B=15°，
则AC=sin15°，BC=cos15°，
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}AC•BC=\frac{1}{2}sin15°cos15°$=$\frac{1}{4}sin30°=\frac{1}{4}×\frac{1}{2}=\frac{1}{8}$．

点评 本题考查解三角形，考查了正弦定理和余弦定理的应用，考查了二倍角的正弦，是中档题．