题目内容

6．证明：当x＞0时，sinx＜x．

分析 设y=x-sinx，求导数，确定当x＞0时，y=x-sinx是增函数，即可得出结论．

解答 证明：设y=x-sinx，则y′=1-cosx≥0．
∴当x＞0时，y=x-sinx是增函数，x=0时，0-sin0=0，
∴y=x-sinx＞0，
∴当x＞0时，sinx＜x．

点评 本题考查综合法，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，是中档题．

练习册系列答案
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16．已知函数f（x）=x2+xsinx+cosx+1
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（a，f（a））处的切线是y=b，求a与b的值；
（Ⅱ）若曲线y=f（x）与直线y=b有两个不同交点，求b的取值范围．
17．阳澄湖大闸蟹的上市规格为：特级雄蟹≥200g，雄蟹≥150g，一级雄蟹≥150g，雌蟹≥125g；二级雄蟹≥125g，雌蟹≥100g．现从某批上市的大闸蟹中随机抽取100只，得到的数据如下：
 雄蟹雌蟹 
 等级 特级一级 二级 特级 一级 二级 
 只数 30 a10 20 10 b
（1）根据雌雄按分层抽样的方法从这100只大闸蟹中抽取20只，若雌蟹有8只，求a，b的值；
（2）按样本估计总体的方法从这批上市的大闸蟹中有放回地随机抽取3只，记特级雄蟹的只数为X，求X的数学期望．
14．设不等式f（x）≥0的解集为[1，2]，不等式 g（x）≥0的解集为∅，则不等式$\frac{f（x）}{g（x）}$＞0的解集是（-∞，1）∪（2，+∞）．
1．各顶点都在一个球面上的正四棱柱（底面是正方形，侧棱垂直于底面）高为2，体积为8，则这个球的表面积是（　　）
A．16πB．12πC．10πD．8π
11．以下五个关于圆锥曲线的命题中：
①双曲线$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$与椭圆$\frac{x^2}{49}+\frac{y^2}{24}=1$有相同的焦点；
②以抛物线的焦点弦（过焦点的直线截抛物线所得的线段）为直径的圆与抛物线的准线是相切的．
③设A、B为两个定点，k为常数，若|PA|-|PB|=k，则动点P的轨迹为双曲线；
④过抛物线y2=4x的焦点作直线与抛物线相交于A、B两点，则使它们的横坐标之和等于5的直线有且只有两条．
⑤过定圆C上一定点A作圆的动弦AB，O为原点，若$\overrightarrow{OP}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}）$，则动点P的轨迹为椭圆
其中真命题的序号为①②④（写出所有真命题的序号）
18．命题p：?x∈R，x2+mx+1≥0；命题q：方程$\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{2}=1$表示焦点在y轴上的椭圆．若“p且q”是假命题，“p或q”是真命题，求实数m的取值范围．
15．已知集合A={（x，y|x2+$\frac{y^2}{3}$＞1}，B={（x，y）|y-x＞2}，则“点P∈A”是“点P∈B”的必要不充分条件．
16．已知函数f（x）=ax3-2x-lnx，a∈R
（1）若曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为y=b，求a+b的值；
（2）在（1）的条件下，求函数f（x）零点的个数；
（3）若不等式|f（x）+2（x+a）|≥1对任意x∈（0，1]都成立，求a的取值范围．

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