Question

4．如图所示，正方形AA₁D₁D与矩形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=2，点E为AB的中点．
（1）求证：BD₁∥平面A₁DE；
（2）求直线A₁E与平面AD₁E所成角．

Answer 1

分析 （1）连接AD₁交A₁D于点F，连EF，利用中位线定理可得BD₁∥EF，故BD₁∥平面A₁DE；
（2）证明A₁D⊥平面AD₁E，故而∠A₁EF为直线A₁E与平面AD₁E所成角，于是sin∠A₁EF=$\frac{{A}_{1}F}{{A}_{1}E}$．

解答 证明：（1）连接AD₁交A₁D于点F，连EF．
∵四边形AA₁D₁D是正方形
∴F是AD₁的中点，
又∵E为AB的中点，
∴EF∥BD₁，
又∵EF?平面A₁DE，BD₁?平面A₁DE．
∴BD₁∥平面A₁DE．
解：（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴AE⊥AD．
又∵平面AA₁D₁D⊥平面ABCD，平面AA₁D₁D∩平面ABCD=AD，AE?平面ABCD，
∴AE⊥平面AA₁D₁D，又A₁D?平面AA₁D₁D，
∴AE⊥A₁D．
∵四边形ADD₁A₁是正方形，
∴AD₁⊥A₁D，
又∵AE?平面AD₁E，AD₁?平面AD₁E，AE∩AD₁=A，
∴A₁D⊥平面AD₁E，
∴∠A₁EF是直线A₁E与平面AD₁E所成角．
∵AA₁=AE=1，
∴${A_1}E=\sqrt{2}$
∵正方形AA₁D₁D的边长为1，
∴${A_1}F=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
∴$sin∠{A_1}EF=\frac{{{A_1}F}}{{{A_1}E}}=\frac{1}{2}$，
∴$∠{A_1}EF=\frac{π}{6}$．
即直线A₁E与平面AD₁E所成角为$\frac{π}{6}$．

点评 本题考查了线面平行的判定，线面角的计算，属于中档题．