Question

（理科试题）如图，在空间四边形OABC中，G是△ABC的重心，若

OG

=x

OA

+y

OB

+z

OC

，则x+y+z=

1

．

Answer 1

分析：取AB中点D，连接OD、CD，根据G是△ABC的重心，得到

CG

=2

GD

，所以

OG

=

1

3

OC

+

2

3

OD

…①；因为D为线段AB中点，所以

OD

=

1

2

OA

+

1

2

OB

…②，①②联解得

OG

=

1

3

OA

+

1

3

OB

+

1

3

OC

．由此结合题意，得x=y=z=

1

3

，可得x+y+z=1．

解答：解：取AB中点D，连接OD、CD，因为G是△ABC的重心，所以G在CD上且CG=2GD
∵

CG

=2

GD

，即

OG

-

OC

=2（

OD

-

OG

）
∴

OG

=

1

3

OC

+

2

3

OD

…①
又∵D为线段AB中点
∴

OD

=

1

2

OA

+

1

2

OB

…②，
将②代入①得

OG

=

1

3

OC

+

2

3

(

1

2

OA

+

1

2

OB

)=

1

3

OA

+

1

3

OB

+

1

3

OC

．
∵

OG

=x

OA

+y

OB

+z

OC

，
∴x=y=z=

1

3

，可得x+y+z=1
故答案为：1

点评：本题在四面体中，由一顶点指向对面三角形重心的向量为例，考查了空间向量基本定理及其应用，属于基础题．