Question

设椭圆C：+=1的左焦点为F，左准线为l，一条直线过点F与椭圆C交于A，B两点，若直线l上存在点P，使△ABP为等边三角形，求直线AB的方程．

Answer 1

【答案】分析：设过点F的弦AB的中点为M，分别过A，B，M向准线l作垂线，垂足分别为A₁，B₁，M₁，则|MM₁|=（|AA₁|+|BB₁|）=（+）=|AB|，又因为△PAB为等边三角形?|PM|=|AB|，所以=，cos∠PMM₁=，由此能求出AB的方程．
解答：解：如图，∵F（-，0），l：x=-2，离心率e=．设过点F的弦AB的中点为M，分别过A，B，M向准线l作垂线，垂足分别为A₁，B₁，M₁，则|MM₁|=（|AA₁|+|BB₁|）=（+）=|AB|，又因为△PAB为等边三角形?|PM|=|AB|，所以=，


即cos∠PMM₁=，
∴sin∠PMM₁=，tam∠PMM₁=，
又k_PM=±tam∠PMM₁=±
∵AB⊥PM，∴k_AB=-=±，
又AB过点F（-，0），所以AB的方程为y=±（x+）．
即直线AB的方程为：，或．
点评：本题考查圆锥曲线的基本几何量的求法，如焦点、准线、离心率等．考查直线与圆锥曲线的基本问题的研究方法，如弦长计算、弦中点坐标求法等．考查圆锥曲线的定义的灵活应用．