Question

2．已知抛物线E：y²=4x的焦点F为椭圆M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）右焦点，两曲线在第一象限内交于点P，且|PF|=$\frac{5}{3}$
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）过点F且互相垂直的两条直线l₁与l₂，若l₁与椭圆M交于A、B两点，l₂与抛物线E交于C、D两点，且|CD|=4|AB|，求直线l₁的方程．

Answer 1

分析 （I）通过抛物线方程可知c=1，利用P（$\frac{2}{3}$，$\frac{2\sqrt{6}}{3}$）及椭圆定义可知=2，进而可得结论；
（II）通过分析确定直线l₁的斜率存在且不为0，通过设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线l₁：y=k（x-1），直线l₂：y=-$\frac{1}{k}$（x-1），利用两点间距离公式及|CD|=4|AB|可求出k的值，进而可得结论．

解答 解：（I）由已知，F（1，0），即c=1，
由|PF|=$\frac{5}{3}$且点P在第一象限内，可知P（$\frac{2}{3}$，$\frac{2\sqrt{6}}{3}$），
由椭圆定义可知2a=$\sqrt{（\frac{2}{3}-1）^{2}+（\frac{2\sqrt{6}}{3}-0）^{2}}$+$\sqrt{（\frac{2}{3}+1）^{2}+（\frac{2\sqrt{6}}{3}-0）^{2}}$=4，即a=2，
∴b²=a²-c²=3，∴椭圆M的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（II）由题可知，直线l₁的斜率必存在．
①当直线l₁的斜率为0时，则直线l₂的斜率不存在，此时|CD|=4，|AB|=4，不满足题意；
②当直线l₁的斜率存在且不为0时，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
设直线l₁：y=k（x-1），则直线l₂：y=-$\frac{1}{k}$（x-1），
联立直线l₁与椭圆M的方程，消去y得：（4k²+3）x²-8k²x+4k²-12=0，
从而|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{\sqrt{（8{k}^{2}）^{2}-4（4{k}^{2}+3）（4{k}^{2}-12）}}{4{k}^{2}+3}$=$\frac{12（{k}^{2}+1）}{4{k}^{2}+3}$，
联立直线l₂与抛物线E的方程，消去y得：$\frac{1}{{k}^{2}}$x²-2（$\frac{1}{{k}^{2}}$+2）x+$\frac{1}{{k}^{2}}$=0，
从而|CD|=x₁+x₂+2=$\frac{2（\frac{1}{{k}^{2}}+2）}{\frac{1}{{k}^{2}}}$+2=4（k²+1），
由|CD|=4|AB|可知$\frac{12（{k}^{2}+1）}{4{k}^{2}+3}$=k²+1，解得：k=±$\frac{3}{2}$，
所以直线l₁的方程为：3x±2y-3．

点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．