甲.乙两支排球队进行比赛.约定先胜3局者获得比赛的胜利.比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是$\frac{1}{2}$外.其余每局比赛甲队获胜的概率都是$\frac{2}{3}$．假设各局比赛结果相互独立．(1)分别求甲队以3:0.3:1.3:2获胜的概率,(2)若比赛结果为3:0或3:1.则胜利方得3分.对方得0分,若比赛结果为3:2.则胜利方得2分.对� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

19．甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是$\frac{1}{2}$外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是$\frac{2}{3}$．假设各局比赛结果相互独立．
（1）分别求甲队以3：0，3：1，3：2获胜的概率；
（2）若比赛结果为3：0或3：1，则胜利方得3分、对方得0分；若比赛结果为3：2，则胜利方得2分、对方得1分．求甲队得分X的概率分布及数学期望．

分析（1）甲队获胜有三种情形，①3：0，②3：1，③3：2，其每种情形的最后一局肯定是甲队胜，分别求出相应的概率，最后根据互斥事件的概率公式求出甲队获得这次比赛胜利的概率；
（2）X的取值可能为0，1，2，3，然后利用相互独立事件的概率乘法公式求出相应的概率，列出分布列，最后根据数学期望公式解之即可．

解答解：（1）记甲队以3：0，3：1，3：2获胜分别为事件A，B，C．
由题意得P（A）=$（\frac{2}{3}）^{3}=\frac{8}{27}$，
P（B）=${C}_{3}^{2}（\frac{2}{3}）^{2}•（\frac{1}{3}）•（\frac{2}{3}）=\frac{8}{27}$，
P（C）=${C}_{4}^{2}（\frac{2}{3}）^{2}•（\frac{1}{3}）^{2}•\frac{1}{2}=\frac{4}{27}$
（2）X的可能取值为0，1，2，3．
P（X=3）=P（A）+P（B）=$\frac{16}{27}$； P（X=2）=P（C）=$\frac{4}{27}$，
P（X=1）=C${\;}_{4}^{2}$•（$\frac{2}{3}$）²（$\frac{1}{3}$）²•$\frac{1}{2}$=$\frac{4}{27}$，P（X=0）=1-P（1≤X≤3）=$\frac{1}{9}$．
所以X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{9}$	$\frac{4}{27}$	$\frac{4}{27}$	$\frac{16}{27}$

从而E（X）=0×$\frac{1}{9}$+1×$\frac{4}{27}$+2×$\frac{4}{27}$+3×$\frac{16}{27}$=$\frac{20}{9}$．
答：甲队以3：0，3：1，3：2获胜的概率分别为$\frac{8}{27}$，$\frac{8}{27}$，$\frac{4}{27}$．甲队得分X的数学期望为$\frac{20}{9}$． …（10分）

点评本题主要考查了相互独立事件的概率乘法公式，以及离散型随机变量的期望与分布列，同时考查了分类讨论的数学思想，属于中档题．