题目内容
19．甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是$\frac{1}{2}$外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是$\frac{2}{3}$．假设各局比赛结果相互独立．（1）分别求甲队以3：0，3：1，3：2获胜的概率；
（2）若比赛结果为3：0或3：1，则胜利方得3分、对方得0分；若比赛结果为3：2，则胜利方得2分、对方得1分．求甲队得分X的概率分布及数学期望．
分析 （1）甲队获胜有三种情形，①3：0，②3：1，③3：2，其每种情形的最后一局肯定是甲队胜，分别求出相应的概率，最后根据互斥事件的概率公式求出甲队获得这次比赛胜利的概率；
（2）X的取值可能为0，1，2，3，然后利用相互独立事件的概率乘法公式求出相应的概率，列出分布列，最后根据数学期望公式解之即可．
解答 解：（1）记甲队以3：0，3：1，3：2获胜分别为事件A，B，C．
由题意得P（A）=$（\frac{2}{3}）^{3}=\frac{8}{27}$，
P（B）=${C}_{3}^{2}（\frac{2}{3}）^{2}•（\frac{1}{3}）•（\frac{2}{3}）=\frac{8}{27}$，
P（C）=${C}_{4}^{2}（\frac{2}{3}）^{2}•（\frac{1}{3}）^{2}•\frac{1}{2}=\frac{4}{27}$
（2）X的可能取值为0，1，2，3．
P（X=3）=P（A）+P（B）=$\frac{16}{27}$； P（X=2）=P（C）=$\frac{4}{27}$，
P（X=1）=C${\;}_{4}^{2}$•（$\frac{2}{3}$）2（$\frac{1}{3}$）2•$\frac{1}{2}$=$\frac{4}{27}$，P（X=0）=1-P（1≤X≤3）=$\frac{1}{9}$．
所以X的分布列为：
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| P | $\frac{1}{9}$ | $\frac{4}{27}$ | $\frac{4}{27}$ | $\frac{16}{27}$ |
答：甲队以3：0，3：1，3：2获胜的概率分别为$\frac{8}{27}$，$\frac{8}{27}$，$\frac{4}{27}$．甲队得分X的数学期望为$\frac{20}{9}$． …（10分）
点评 本题主要考查了相互独立事件的概率乘法公式，以及离散型随机变量的期望与分布列，同时考查了分类讨论的数学思想，属于中档题．
练习册系列答案
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7．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
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8．
如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°．
（1）求PB和平面PAD所成角的正弦值．
（2）求面PAD和面PBC所成二面角的大小．
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