Question

16．已知函数f（x）=2|x+2|-|x-a|（a∈R）．
（1）当a=4时，求不等式f（x）≤0的解集；
（2）当a＞-2时，若函数f（x）的图象与x轴所围成的封闭图形的面积不超过54，求a的最大值．

Answer 1

分析 （1）当a=4时，根据绝对值的性质，利用平方法进行求解即可求不等式f（x）≤0的解集；
（2）当a＞-2时将函数f（x）表示为分段函数形式，求出f（x）=0的根，确定图象与x轴围成三角形的顶点坐标，结合三角形的面积公式进行求解即可．

解答 解：（1）当a=4时，不等式f（x）≤0得2|x+2|-|x-4|≤0，
得2|x+2||≤|x-4|．平方得4（x+2）²≤（x-4）²，
即x²+8x≤0，得-8≤x≤0，即不等式的解集为[-8，0]．
（2）当a＞-2时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x-4-a}&{x≤-2}\\{3x+4-a}&{-2＜x＜a}\\{x+4+a}&{x≥a}\end{array}\right.$，
令f（x）=0得x=-4-a或x=$\frac{a-4}{3}$，
则f（x）的图象如x轴的交点A（-4-a，0），B（$\frac{a-4}{3}$，0），
f（x）在（-∞，-2]上单调递减，在（-2，+∞）单调递增，
f（x）_min=f（-2）=-（a+2），设C（-2，-（a+2）），
f（x）的图象与x轴围成以A，B，C为顶点的三角形，
其面积为$\frac{1}{2}$[$\frac{a-4}{3}$-（-4-a））×（a+2）=$\frac{2}{3}$（a+2）²，
若函数f（x）的图象与x轴所围成的封闭图形的面积不超过54，
则$\frac{2}{3}$（a+2）²≤54，即（a+2）²≤81
解得-11≤a≤7，又a＞-2，
所以-2＜a≤7，所以a的最大值为7．

点评 本题主要考查绝对值不等式的结合和应用，根据绝对值的性质表示成分段函数是解决本题的关键．