Question

10．已知函数f（x）=cosxsin（x-$\frac{π}{6}}$）+cos2x+$\frac{1}{4}$，x∈R．
（1）求f（x）单调递增区间；
（2）求f（x）在[-$\frac{π}{12}$，$\frac{5π}{12}}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）将已知函数解析式转化为正弦函数，然后求其单调递增区间；
（2）根据（1）中正弦函数的自变量的取值范围来求函数的最值．

解答 解：（1）f（x）=cosxsin（x-$\frac{π}{6}}$）+cos2x+$\frac{1}{4}$
=cosx（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx-$\frac{1}{2}$cosx）+cos2x+$\frac{1}{4}$
=-$\frac{1}{2}$cos²x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinxcosx+cos2x+$\frac{1}{4}$
=$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2x+$\frac{3}{4}$cos2x，
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，解得kπ-$\frac{5π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{12}$，
∴f（x）单调递增区间是[kπ-$\frac{5π}{3}$，kπ+$\frac{π}{12}$]（k∈Z）．
（2）由x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{5π}{12}}$]，得
2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
∴-$\frac{1}{2}$≤sin（2x+$\frac{π}{3}$）≤1，
∴-$\frac{\sqrt{3}}{4}$≤f（x）≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
因此，f（x）在[-$\frac{π}{12}$，$\frac{5π}{12}}$]上的最大值和最小值分别为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查了三角函数中的恒等变换应用．利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．