Question

对函数Φ（x），定义f_k（x）=Φ（x-mk）+nk（其中x∈（mk，m+mk]，k∈Z，m＞0，n＞0，且m、n为常数）为Φ（x）的第k阶阶梯函数，m叫做阶宽，n叫做阶高，当阶宽为2，阶高为3时，若Φ（x）=2^x．
（1）求f₀（x）和f_k（x）的解析式；
（2）求证：Φ（x）的各阶阶梯函数图象的最高点共线．

Answer 1

分析：（1）把k=0代入定义f_k（x）=Φ（x-mk）+nk，可得f₀（x）=Φ（x），由题意可得 f_k（x）=Φ（x-2k）+3k 的解析式．
（2）利用 f_k（x）=Φ（x-2k）+3k 是单调增函数，求出Φ（x）的第k阶阶梯函数图象的最高点的坐标，
再求出第k+1阶阶梯函数图象的最高点的坐标，计算这两个最高点的连线的斜率是个定值，从而得出
 Φ（x）的各阶阶梯函数图象的最高点共线．

解答：解：（1）f₀（x）=Φ（x）=2^x ，x∈（0，2]，f_k（x）=Φ（x-2k）+3k=2^x-2k+3k，x∈（2k，2k+2]，k∈Z，
 （2）∵f_k（x）=Φ（x-2k）+3k=2^x-2k+3k，x∈（2k，2k+2]，k∈Z  是增函数，
∴Φ（x）的第k阶阶梯函数图象的最高点为P_K（2k，3k+4），
第k+1阶阶梯函数图象的最高点为P_K+1（2k+4，3k+7），
∴过 P_k、p_k+1这两点的直线斜率为 K=

(3k+7)-(3k+4)

(2k+4)-(2k+2)

=

3

2

，
同理可证 过 P_K+1、P_K+2  这两点的直线斜率也为

3

2

，
∴Φ（x）的各阶阶梯函数图象的最高点共线．

点评：本题考查用待定系数法求函数解析式，以及证明多个点共线的方法（证明任意两点连线的斜率为定值）．