Question

5．设函数f（x）=-$\frac{1}{2}{（x-5）^2}$+6lnx．
（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求函数y=f（x）的单调区间与极值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，求出f（1），f′（1）的值，代入直线方程即可；（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可．

解答 解：（1）∵$f（x）=-\frac{1}{2}{（x-5）^2}+6lnx$，x＞0，
∴f（1）=-8，切点为（1，-8）…（2分），
∵${f^'}（x）=5-x+\frac{6}{x}$，
∴切线斜率k=f′（1）=10…（4分）
∴切线方程为y+8=10（x-1），
即10x-y-18=0．…（6分）
（2）∵${f^'}（x）=5-x+\frac{6}{x}$
=$\frac{-（x-6）（x+1）}{x}$，x＞0    …（7分）
令f′（x）＞0，0＜x＜6；
令f′（x）＜0，x＞6              …（9分）
∴f（x）单调递增区间为（0，6）； 
单调递减区间为（6，+∞）；
f（x）极大值为f（6）=-$\frac{1}{2}$+6ln6，无极小值． …（12分）

点评 本题考查了求曲线的切线方程问题，考查导数的应用以及函数的单调性、极值问题，是一道中档题．