Question

已知|x+2y+3z|≥4（x，y，z∈R）．
（Ⅰ）求x²+y²+z²的最小值；
（Ⅱ）若|a+2|≤

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2

(x2+y2+z2)对满足条件的一切实数x，y，z恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：一般形式的柯西不等式,绝对值不等式的解法

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）由柯西不等式可得，（x+2y+3z）²≤（1²+2²+3²）（x²+y²+z²），结合条件即可得到最小值；
（Ⅱ）由恒成立思想，结合（Ⅰ）可得|a+2|≤4，解不等式即可得到．

解答： 解：（Ⅰ）由柯西不等式可得，
（x+2y+3z）²≤（1²+2²+3²）（x²+y²+z²），
由|x+2y+3z|≥4，
则x2+y2+z2≥

8

7

，
即x²+y²+z²的最小值为

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；
（Ⅱ）由于|a+2|≤

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2

(x2+y2+z2)对满足条件的一切实数x，y，z恒成立，
且x²+y²+z²的最小值为

8

7

，
则|a+2|≤4，
则有-4≤a+2≤4
则-6≤a≤2，
即a的取值范围为[-6，2]．

点评：本题考查柯西不等式的运用：求最值，考查不等式恒成立问题转化为求函数的最值，考查运算能力，属于基础题．