Question

14．已知平面向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$，$\overrightarrow c$满足$\overrightarrow a•\overrightarrow b=3$，$|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|=2$，且$（\overrightarrow a-\overrightarrow c）•（\overrightarrow b-\overrightarrow c）=0$，则$|{\overrightarrow c}|$的取值范围是（　　）

• A． [0，2]
• B． [1，3]
• C． [2，4]
• D． [3，5]

Answer 1

分析 由$\overrightarrow a•\overrightarrow b=3$，$|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|=2$，可得$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|$=$\sqrt{（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）^{2}+4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}$．由$（\overrightarrow a-\overrightarrow c）•（\overrightarrow b-\overrightarrow c）=0$，可得${\overrightarrow{c}}^{2}$=$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）$$•\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}||\overrightarrow{c}|$cosα-3，设α为$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{c}$的夹角．化简即可得出．

解答 解：∵$\overrightarrow a•\overrightarrow b=3$，$|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|=2$，∴$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|$=$\sqrt{（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）^{2}+4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}$=4．
∵$（\overrightarrow a-\overrightarrow c）•（\overrightarrow b-\overrightarrow c）=0$，∴${\overrightarrow{c}}^{2}$=$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）$$•\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}||\overrightarrow{c}|$cosα-3，设α为$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{c}$的夹角．
∴cosα=$\frac{|\overrightarrow{c}{|}^{2}+3}{4|\overrightarrow{c}|}$∈[-1，1]，
解得$|\overrightarrow{c}|$∈[1，3]．
故选：B．

点评 本题考查了向量数量积运算性质、三角函数求值、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．