Question

已知椭圆C₁：

x2

3

+

y2

2

=1的左右焦点为F₁，F₂，直线l₁过点F₁且垂直于椭圆的长轴，动直线l₂垂直于直线l₁于点P，线段PF₂的垂直平分线与l₂的交点的轨迹为曲线C₂，若A（1，2），B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）是C₂上不同的点，且AB⊥BC，则y₂的取值范围是（　　）

• A、（-∞，-6）∪[10．+∞）
• B、（-∞，6]∪[10．+∞）
• C、（-∞，-6）∪（10，+∞）
• D、以上都不正确

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：由已知条件推导出曲线C₂：y²=4x．

AB

=(x1-1，y1-2)，

BC

=(x2-x1，y2-y1)，由AB⊥BC，推导出y12+(2+y2)y1+(2y2+16)=0，由此能求出y 2 的取值范围．

解答：解：∵椭圆C₁：

x2

3

+

y2

2

=1的左右焦点为F₁，F₂，
∴F₁（-1，0），F₂（1，0），直线l₁：x=-1，
设l₂：y=t，设P（-1，t），（t∈R），M（x，y），
则y=t，且由|MP|=|MF₂|，
∴（x+1）²=（x-1）²+y²，
∴曲线C₂：y²=4x．
∵A（1，2），B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）是C₂上不同的点，
∴

AB

=(x1-1，y1-2)，

BC

=(x2-x1，y2-y1)，
∵AB⊥BC，
∴

AB

•

BC

=（x₁-1）（x₂-x₁）+（y₁-2）（y₂-y₁）=0，
∵x1=

1

4

y12，x2=

1

4

y22，
∴（y12-4）（y22-y12）+

(y1-2)(y2-y1)

16

=0，
∵y₁≠2，y₁≠y₂，
∴

(y1+2)(y1+y2)

16

+1=0，
整理，得y12+(2+y2)y1+(2y2+16)=0，
关于y₁的方程有不为2的解，
∴△=(2+y2)2-4(2y2+16)≥0，且y₂≠-6，
∴y22-4y2-60≥0，且y₂≠-6，
解得y₂＜-6，或y 2 ≥10．
故选：A．

点评：本题考查实数的取值范围的求法，综合性强，难度大，解题时要熟练掌握圆锥曲线的简单性质，注意函数与方程思想的合理运用．