Question

3．已知0＜β＜α＜$\frac{π}{2}$，tanα=4$\sqrt{3}$，cos（α-β）=$\frac{13}{14}$．
（1）求sin2α的值；
（2）求β的大小．

Answer 1

分析 （1）由条件利用同角三角函数的基本关系求得sinα、cosα的值，可得sin2α的值．
（2）由条件利用同角三角函数的基本关系求得sin（α-β）的值，可得cosβ=cos[α-（α-β）]的值，结合β的范围求得β的值．

解答 （1）因为$\left\{\begin{array}{l}\frac{sinα}{cosα}=4\sqrt{3}\\{sin^2}α+{cos^2}α=1\end{array}\right.$，且$0＜α＜\frac{π}{2}$，所以，$\left\{\begin{array}{l}sinα=\frac{{4\sqrt{3}}}{7}\\ cosα=\frac{1}{7}\end{array}\right.$，
所以，$sin2α=2sinαcosα=\frac{{8\sqrt{3}}}{49}$．
（2）因为$0＜β＜α＜\frac{π}{2}$，所以$0＜α-β＜\frac{π}{2}$，又因为$cos（α-β）=\frac{13}{14}$，所以，$sin（α-β）=\frac{{3\sqrt{3}}}{14}$，
所以cosβ=cos[α-（α-β）]=$cosαcos（α-β）+sinαsin（α-β）=\frac{1}{2}$．
因为$0＜β＜\frac{π}{2}$，所以$β=\frac{π}{3}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的余弦公式的应用，属于基础题．