Question

17．已知等差数列{log₃（a_n-1）}（n∈N^*）的前n项和为S_n，且a₂=10，S₇=28．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=$\frac{1}{{{a_{n+1}}-{a_n}}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列的定义及其通项公式即可得出．
（2）根据等比数列的前n项和公式即可求出．

解答 解：（1）设等差数列{log₃（a₁-1）}（n∈N*）的公差为d，
由S₇=28，得log₃（a₄-1）=4；          …（2分）
又a₂=10，即log₃（a₂-1）=2，…（3分）
则$d=\frac{{{{log}_3}（{a_4}-1）-{{log}_3}（{a_2}-1）}}{2}=1$，…（5分）
所以log₃（a_n-1）=2+（n-2）×1=n，…（6分）
故${a_n}={3^n}+1$．…（7分）
（2）由（1）知${b_n}=\frac{1}{{（{3^{n+1}}+1）-（{3^n}+1）}}=\frac{1}{2}•\frac{1}{3^n}$…（9分）
所以，T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=$\frac{1}{2}（\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+…\frac{1}{3^n}）$…（10分）
=$\frac{1}{2}×\frac{{\frac{1}{3}×（1-\frac{1}{3^n}）}}{{1-\frac{1}{3}}}$=$\frac{1}{4}-\frac{1}{{4•{3^n}}}$…（12分）

点评 本题主要考查数列的通项公式和数列求和，要求熟练掌握等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，考查学生的运算能力．