Question

7．若正实数x，y，z满足x²+y²=9，x²+z²+xz=16，y²+z²+$\sqrt{3}$yz=25，则2xy+$\sqrt{3}$xz+yz=18．

Answer 1

分析 设$\overrightarrow{a}$=（x，y），$\overrightarrow{b}$=（x+$\frac{z}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}z$），$\overrightarrow{c}$=（y+$\frac{\sqrt{3}}{2}z$，$\frac{z}{2}$），则所求为$\frac{1}{2}\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$，利用数量积公式可得所求．

解答 解：由已知设$\overrightarrow{a}$=（x，y），$\overrightarrow{b}$=（x+$\frac{z}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}z$），$\overrightarrow{c}$=（y+$\frac{\sqrt{3}}{2}z$，$\frac{z}{2}$），
则由x²+y²=9，x²+z²+xz=16，y²+z²+$\sqrt{3}$yz=25，得到$|\overrightarrow{a}|$²=9，$|\overrightarrow{b}{|}^{2}$=16，$|\overrightarrow{c}|$²=25，9+16=25，所以$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow{b}$，$\frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow{c}|}=cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{c}＞$
所以$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$=xy+$\frac{\sqrt{3}}{2}yz$+$\frac{yz}{2}$=$|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{c}|cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{c}＞$=3×5×$\frac{3}{5}$，
所以2xy+$\sqrt{3}$xz+yz=2×9=18；
故答案为：18．

点评 本题考查了利用平面向量的数量积的运用；关键是从三个等式想到用向量表示，所求为向量的数量积的2倍．