题目内容
11．已知曲线f（x）=ke-x在点x=0处的切线与直线x-2y-1=0垂直，若x1，x2是函数g（x）=f（x）-|lnx|的两个零点，则（ ）| A． | $\frac{1}{{e}^{2}}$＜x1x2＜$\frac{1}{e}$ | B． | $\frac{1}{{e}^{2}}$＜x1x2＜1 | C． | $\frac{1}{e}$＜x1x2＜1 | D． | e＜x1x2＜e2 |
分析 求出f（x）的导数，求得在x=0处的切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为-1，可得k的值，令g（x）=0，则|lnx|=2e-x，作出y=|lnx|和y=2e-x的图象，可知恰有两个交点，设零点为x1，x2且|lnx1|＞|lnx2|，再结合零点存在定理，可得结论．
解答 
解：f（x）=ke-x在的导数为f′（x）=-ke-x，
在点x=0处的切线斜率为k=-k，
由切线与直线x-2y-1=0垂直，可得-k=-2，
解得k=2，则f（x）=2e-x，
令g（x）=0，则|lnx|=2e-x，
作出y=|lnx|和y=2e-x的图象，
可知恰有两个交点，
设零点为x1，x2且|lnx1|＞|lnx2|，0＜x1＜1，x2＞1，
故有$\frac{1}{{x}_{1}}$＞x2，即x1x2＜1．
又g（$\frac{1}{{e}^{2}}$）=2${e}^{-\frac{1}{{e}^{2}}}$-2＜0，g（$\frac{1}{e}$）=2${e}^{-\frac{1}{e}}$-1＞0，
可得$\frac{1}{{e}^{2}}$＜x1＜$\frac{1}{e}$，
即x1x2＞$\frac{1}{{e}^{2}}$，
即有$\frac{1}{{e}^{2}}$＜x1x2＜1．
故选：B．
点评 本题考查函数的零点与方程根的关系，考查数形结合的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，正确作出函数图象是关键．
练习册系列答案
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4．已知f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）=m（|x-2|+|x-4|），（m＞0），若函数y=f[f（x）]-4m恰有4个零点，则实数m的取值范围（ ）
| A． | $（{0，\frac{1}{6}}）$ | B． | $（{0，\frac{1}{6}}）∪（{\frac{5}{6}，\frac{5}{2}}）$ | C． | $（{0，\frac{1}{4}}）∪（{\frac{5}{4}，\frac{5}{2}}）$ | D． | $（{0，\frac{1}{4}}）$ |
5．将函数f（x）=-cos2x的图象向右平移$\frac{π}{4}$个单位后得到函数g（x），则g（x）具有性质（ ）
| A． | 最大值为1，图象关于直线x=$\frac{π}{2}$对称 | B． | 在（0，$\frac{π}{4}$）上单调递减，为奇函数 | ||
| C． | 在（-$\frac{3π}{8}$，$\frac{π}{8}$）上单调递增，为偶函数 | D． | 周期为π，图象关于点（$\frac{3π}{8}$，0）对称 |
的一元二次方程
．
是从
四个数中任取的一个数，
是从
三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；
是从区间
任取的一个数，
是从区间
任取的一个数，求上述方程有实根的概率．