Question

15．已知函数$f（x）=alnx-\frac{x}{2}$在x=2处取得极值．
（Ⅰ）求a实数的值；
（Ⅱ）当x＞1时，$f（x）+\frac{k}{x}＜0$恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，根据f′（2）=0，解得a的值，检验即可；
（Ⅱ）等价于$k＜\frac{x^2}{2}-xlnx$（x＞1），令$g（x）=\frac{x^2}{2}-xlnx$，通过讨论函数的单调性求出k的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）∵$f（x）=alnx-\frac{x}{2}$，∴$f'（x）=\frac{a}{x}-\frac{1}{2}$．
∵函数f（x）在x=2处取得极值，
∴f′（2）=0，
解得a=1，经检验满足题意；
（Ⅱ）得当x＞1时，$f（x）+\frac{k}{x}＜0$恒成立，
等价于$k＜\frac{x^2}{2}-xlnx$（x＞1），
令$g（x）=\frac{x^2}{2}-xlnx$，则g′（x）=x-1-lnx．
令h（x）=x-1-lnx，则$h'（x）=1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}$．
当x＞1时，h′（x）＞0，
函数h（x）在（1，+∞）上单调递增，
故h（x）＞h（1）=0；
从而，当x＞1时，g'（x）＞0，
即函数g（x）在（1，+∞）上单调递增，
故$g（x）＞g（1）=\frac{1}{2}$，
因此，当x＞1时，$k＜\frac{x^2}{2}-xlnx$恒成立，
则$k≤\frac{1}{2}$，
∴k的取值范围是$（-∞，\frac{1}{2}]$．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．