Question

9．盒子有质地均匀的8个小球，其中3个红球，3个黑球和2个白球．
（1）从盒中一次随机取出2个小球，求取出的2个球颜色不同的概率；
（2）从盒中一次随机取出3个小球，其中取出黑球和白球的个数分别为m和n，记ξ=|m-n|，求随机变量ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取出两个球是同一颜色的种数为：${C}_{3}^{2}{+C}_{3}^{2}{+C}_{2}^{2}$，由此利用对立事件概率计算公式能求出取出两个球颜色不同的概率．
（Ⅱ）由已知ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量ξ的分布列和数学期望．

解答 解：（Ⅰ）∵盒子有质地均匀的8个小球，其中3个红球，3个黑球和2个白球，
∴取出两个球是同一颜色的种数为：${C}_{3}^{2}{+C}_{3}^{2}{+C}_{2}^{2}$，
∴取出两个球颜色不同的概率p=1-$\frac{{C}_{3}^{2}{+C}_{3}^{2}{+C}_{2}^{2}}{{C}_{8}^{2}}$=$\frac{3}{4}$．
（Ⅱ）∵取出3个球中有m个黑球和n个白球，另t个红球，

	黑球	白球	红球
ξ=0	0	0	3
	1	1	1
ξ=1	0	1	2
	1	0	2
	1	2	0
	0	2	1
ξ=2	2	0	1
	2	1	0
ξ=3	3	0	0

∴P（ξ=0）=$\frac{{C}_{3}^{3}+{C}_{3}^{1}{C}_{2}^{1}{C}_{3}^{1}}{{C}_{8}^{3}}$=$\frac{19}{56}$，
P（ξ=1）=1-P（ξ=0）-P（ξ=2）-P（ξ=3）=$\frac{24}{56}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{3}^{2}{C}_{2}^{0}{C}_{3}^{1}+{C}_{3}^{0}{C}_{2}^{2}{C}_{3}^{1}}{{C}_{8}^{3}}$=$\frac{12}{56}$，
P（ξ=3）=$\frac{{C}_{3}^{3}}{{C}_{8}^{3}}$=$\frac{1}{56}$，
∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{19}{56}$	$\frac{24}{56}$	$\frac{12}{56}$	$\frac{1}{56}$

Eξ=$1×\frac{24}{56}$+2×$\frac{12}{56}$+3×$\frac{1}{56}$=$\frac{51}{56}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．