题目内容
2．已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a＜$\frac{2}{3}$b），在R上是单调递增函数，则$\frac{3a+2b+c}{2b-3a}$的最小值是（ ）| A． | 3 | B． | 4 | C． | 5 | D． | 6 |
分析 求出函数的导数，得到c≥$\frac{{b}^{2}}{3a}$，a＞0，根据基本不等式的性质求出代数式的最小值即可．
解答 解：f′（x）=3ax2+2bx+c，
若函数f（x）在R上是单调递增函数，
则$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△={4b}^{2}-12ac≤0}\end{array}\right.$，
解得：c≥$\frac{{b}^{2}}{3a}$，a＞0，
故$\frac{3a+2b+c}{2b-3a}$≥$\frac{3a+2b+\frac{{b}^{2}}{3a}}{2b-3a}$=$\frac{{（3a+b）}^{2}}{3a（2b-3a）}$≥$\frac{{（3a+b）}^{2}}{{（\frac{3a+2b-3a}{2}）}^{2}}$=$\frac{{（3a+b）}^{2}}{{b}^{2}}$，
当且仅当3a=2b-3a即b=3a时“=”成立，
此时$\frac{3a+2b+c}{2b-3a}$的最小值是$\frac{{（3a+b）}^{2}}{{b}^{2}}$=$\frac{{（3a+3a）}^{2}}{{（3a）}^{2}}$=4，
故选：B．
点评 本题考查了求函数的单调性问题，考查基本不等式的性质，是一道中档题．
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