Question

17．已知函数f（x）=ax²-2ax+a+1（a＞0），g（x）=bx³-2bx²+bx-$\frac{4}{27}$（b＞1），则函数y=g（f（x））的零点个数为2 个．

Answer 1

分析 求导，确定g（x）在（0，$\frac{1}{3}$），（$\frac{1}{3}$，1），（1，+∞）上分别有零点，f（x）=ax²-2ax+a+1=a（x-1）²+1≥1，可得f（x）在（0，$\frac{1}{3}$）上无根，在（$\frac{1}{3}$，1），（1，+∞）上分别有两个根，即可得出y=g[f（x）]的零点个数．

解答 解：∵g（x）=bx³-2bx²+bx-$\frac{4}{27}$，∴g′（x）=b（3x-1）（x-1）
∴g（x）的单调增区间是（0，$\frac{1}{3}$），（1，+∞），单调减区间是（$\frac{1}{3}$，1），
∵g（0）g（$\frac{1}{3}$）＜0，g（$\frac{1}{3}$）g（1）＜0，
∴g（x）在（0，$\frac{1}{3}$），（$\frac{1}{3}$，1），（1，+∞）上分别有零点，
∵f（x）=ax²-2ax+a+1=a（x-1）²+1≥1，
∴f（x）在（0，$\frac{1}{3}$），（$\frac{1}{3}$，1）上无根，在 （1，+∞）上分别有两个根，
∴y=g[f（x）]的零点个数为2．
故答案为：2．

点评 本题考查函数的零点，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．